Matematika Informatika

Disusun Oleh    :
1. Bogiant Raskarowana
2. David Panca Laksana
3. Hawa Amalia Poetri
4. Isaghrib Aziz Pramono
5. Josie Latif
6. Luthfi Rizky Perdana
7. Muhammad Iqbal Prawira Se
8. Renaldy Dwi Julianto
9. Sopha Salsabila


CONTOH SOAL RELASI REKURSI DAN PEMBAHASANNYA

1.    a - an-1  = 2n2,n 1, dan 0 = 9 Solusi Umumnya adalah……


Pembahasan :

f   (n) = 2n2, sehingga solusi umumnya :
     
            =        A0+ (n(n+1)(2n+1)/6)  

            =        9 +  (n) (n+1)(2n+1)

2.    Tentukan solusi homogen dari :
bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3
Pembahasan :
Kita ubah dulu bn menjadi α maka
α² + 2α – 8 = 0
(α – 4) (α + 2)
α1 = 4 & α2 = -2 maka
an = A1a1^n + A2a2^n
= A1(4)^n + A2(-2)^n
b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
4 = A1 + A2
b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
-2 = 4A1 – 2A2
Proses eliminasi:
4    =  A1   +   A2  | x2 |    8   =  2A1 + 2A2
-2  =  4A1 – 2A2   | x1 |   -2   =  4A1 – 2A2
—————- +
6   =  6A1
A1  =  1
A2  =  3  sehingga
an  =  A1a1^n + A2a2^n
=  1(4)^n + 3(-2)^n

3.    Diketahui barisan rekursi A0 = 3 , A1 = 7 , A2 = 10. Tentukan nilai A3 , A4 , dan A5 !

Pembahasan :
A3 = A3-1 - A3-2
=A2    -   A1
= 10   -  3

A4 = A4-1 – A4-2
    = A3 - A2
= 3 - 10
   = -7

A5 = A5-1 – A5-2
= A4  - A3
= -7  -   3
  = -10

4.    Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 .a. bn(h) = (-3)n + .2nb. bn(h) = 3n + .2nc. bn(h) = (-2)n + .3nd. bn(h) = (-3)n + .2ne. bn(h) = 3n + .3n !

Pembahasan :
Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n.

5.    Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1). Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.
Ditanya : Hitunglah c5 !

Pembahasan :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.
c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5
c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12
c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33
c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi, c5 = 94

6.    Tentukan solusi dari relasi rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !

       Pembahasan :
 Relasi rekurensi homogen : an + 6an-1 + 9an-2 = 0.
 Persamaan karakteristiknya adalah
     a2 + 6a + 9 = 0
      (a + 3) (a + 3) = 0
 Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
 Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
          an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
           an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n

7.    An = 3an-1 + 5an-2
Tentukan a2, jika a0 = 2 dan a1 = 1
Pembahasan :
An = 3an-1 + 5an-2
An-3an-1   -   5an-2 =0
C0an-3c1an-1   –   5(2an-2=fcn)
A2=-1/c0(-3c1a2-1  +   (-5) a2-2-0)
=-1/1((-3)a1 + (-5)(2))
=-1(-3+(-10))
=  -1(-13)
=13

8.    Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98

Pembahasan :
Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0  a2 = 7 a1 = 7  (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0
sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh :

 a3 = 7 a2 = 7 (7pangkat2 a0) = 7pangkat3 a0 ..........dan seterusnya
sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah
 an= 7n (2) , n > 0


9.    Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi  dari :
an + 4 an-1 + 4 an-2 = 0

Pembahasan :
Relasi rekurensi homogen :                        an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya adalah             a2  +  4 a  + 4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
    
Akar-akar karakteristik   a1 = a2 = -2 ,  m = 2, Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk:
                                      an(h)  = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n  ,an(h)  = (A1 n + A2 ) (-2)n

10.    Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1). Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.Ditanya : Hitunglah c5 !

Pembahasan :
Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bisa dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.
•    c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5
•    c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12
•    c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33
•    c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi, c5 = 94